A Curva Que Faz o Papel Longo Ganhar Mais do Que Perde

Um ponto de queda na taxa real vale mais para um IPCA+ de 2045 do que um ponto de alta custa, e a diferença aparece no resgate antecipado.

A curva que decide os dois lados do mesmo ponto

Um extrato do Tesouro Direto mostra a mesma linha em dois momentos diferentes. Cinquenta mil reais aplicados num IPCA+ com vencimento em 2045, comprados a 7% ao ano acima da inflação, e um saldo atualizado que hoje aparece perto de quarenta e um mil e novecentos.

A taxa do papel subiu um ponto desde a compra, de 7% para 8% ao ano, e o preço de cada título caiu de R$ 276,51 para R$ 231,71. O emissor é o mesmo, o contrato é o mesmo e o valor de resgate lá em 2045 continua exatamente onde estava.

A leitura automática de quem vê a tela vermelha é de gangorra. Se um ponto de alta tirou 16%, um ponto de queda devolveria 16%, e bastaria a taxa voltar ao ponto de partida para o preço voltar junto, no mesmo tamanho.

A conta não fecha assim. Com a taxa caindo de 7% para 6% ao ano, o mesmo título vai a R$ 330,51, uma alta de 19,5% sobre o preço de compra. O movimento de mesmo tamanho, na direção contrária, paga três pontos e três décimos a mais do que o outro lado cobra.

Em dinheiro, sobre os mesmos cinquenta mil reais, a diferença é de cerca de mil e seiscentos reais entre o que a queda de um ponto acrescenta e o que a alta de um ponto retira. O papel é o mesmo, o prazo é o mesmo e o tamanho do choque é o mesmo.

Essa diferença não vem de prêmio de risco, de leitura de cenário nem de sorte no momento da compra. Ela vem do formato da relação entre preço e taxa, que nunca foi uma reta, e que aparece com força justamente onde o prazo é longo.

O que vem primeiro é o formato: por que o preço de um título é uma divisão e não uma subtração, e por que essa operação entorta a linha a favor de quem carrega prazo.

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I  O Princípio

A reta da duration e a curva do papel

O preço de um título de renda fixa sai de uma operação só. Pega-se o valor que ele paga no vencimento e divide-se pela taxa contratada, elevada ao número de anos que faltam. É divisão composta, não subtração.

Divisão composta não desenha linha reta. Cada ponto de taxa a mais engrossa o denominador, e um denominador que já cresceu tira menos preço do que o ponto anterior tirou. Cada ponto a menos afina o denominador, e o preço sobe mais do que subiu no ponto anterior.

A curva que sai daí tem inclinação que muda ao longo dela mesma. Ela cai rápido na região de taxa baixa e cai devagar na região de taxa alta, e fica sempre acima da reta que passa tangente ao ponto onde o papel foi comprado.

A distância entre a curva e essa reta tem nome no mercado de renda fixa. Chama-se convexidade, e é a segunda camada da sensibilidade do papel, a que sobra depois que a primeira camada, a duration, já foi contada.

A duration resume num número só quanto o preço varia para cada ponto de taxa. Para um IPCA+ de dezenove anos negociado a 7% ao ano, ela fica perto de 17,8, o que promete cerca de 17,8% de variação de preço a cada ponto percentual de movimento.

O número está certo e a promessa está incompleta. A duration descreve uma reta, e uma reta só acompanha a curva num trecho minúsculo em volta do ponto de partida. Movimento grande de taxa deixa a reta para trás nos dois sentidos.

O erro tem direção fixa porque a curva inteira fica acima da reta tangente. Na queda de taxa, o preço real termina acima do que a duration previa. Na alta, ele também termina acima do previsto, e terminar acima do previsto numa perda significa perder menos.

A regra é antiga e foi escrita antes de qualquer planilha de mercado. Burton Malkiel demonstrou em 1962, no artigo Expectations, Bond Prices, and the Term Structure of Interest Rates, que a alta de preço provocada por uma queda de rendimento é maior que a queda de preço provocada por uma alta igual.

O que muda de papel para papel é o tamanho da vantagem. E é o tamanho que decide se ela é um detalhe de calculadora ou uma diferença que aparece no extrato de quem investe.

II  A Matemática

Os 19,5% de um lado, os 16,2% do outro

O papel da conta é um Tesouro IPCA+ Principal com dezenove anos até o vencimento, sem cupom no meio do caminho, comprado com taxa real de 7% ao ano. O valor de resgate de R$ 1.000 dividido por 1,07 elevado a dezenove dá um preço de R$ 276,51.

Com a taxa real caindo para 6% ao ano, o divisor encolhe e o preço vai a R$ 330,51. São 19,5% de alta sobre o preço pago, sem que uma única cláusula do contrato tenha mudado de lugar.

Com a taxa real subindo para 8% ao ano, o divisor engorda e o preço cai para R$ 231,71. São 16,2% de queda, o outro lado exato do mesmo choque de um ponto percentual.

Tesouro IPCA+ Principal de dezenove anos, sem cupom, em taxa real e antes de imposto, custódia e spread de recompra. Simulação ilustrativa, sem caráter de recomendação de investimento.

A assimetria de 3,3 pontos percentuais é o que a convexidade paga. Sobre cinquenta mil reais aplicados, ela vale cerca de mil seiscentos e sessenta e cinco reais de diferença entre os dois cenários simétricos de taxa.

Há uma forma mais limpa de enxergar o mesmo número. A parcela de convexidade entra com sinal positivo nas duas direções: soma cerca de 1,7 ponto ao ganho quando a taxa cai e subtrai cerca de 1,7 ponto da perda quando a taxa sobe.

O mesmo exercício num papel curto entrega quase nada. Um IPCA+ de três anos comprado a 7% ao ano vale R$ 816,30, sobe para R$ 839,62 com a taxa a 6% e cai para R$ 793,83 com a taxa a 8%.

São 2,86% de um lado contra 2,75% do outro, uma assimetria de onze centésimos de ponto. O papel curto tem a mesma curva, só que percorre um trecho tão pequeno dela que a linha é indistinguível de uma reta.

A diferença entre os dois casos é o prazo, e ele entra ao quadrado. Dobrar o prazo de um título sem cupom multiplica a convexidade por perto de quatro, enquanto a duration apenas dobra de tamanho.

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III  A Aplicação

Quem pode sair antes do vencimento

A assimetria só vira dinheiro para quem tem chance de vender antes de 2045. Quem leva o papel até o vencimento recebe a taxa contratada no dia da compra, e o caminho do preço no meio do trajeto não altera um centavo do resultado final.

O Tesouro Direto recompra os títulos todo dia útil, ao preço de mercado do momento. É essa recompra que transforma a curva de preço em resultado realizável, e é ela que dá sentido prático à diferença entre os dois lados do movimento de taxa.

O cálculo de quem carrega papel longo muda de forma quando o resgate antecipado entra na conta. Deixa de ser apenas a taxa contratada até o vencimento e passa a incluir um segundo retorno possível, com um lado maior do que o outro.

A vantagem tem preço, e o preço aparece em três linhas. A primeira é o spread de recompra: o Tesouro compra o título de volta a uma taxa um pouco maior do que a taxa de venda, e essa distância corta uma fatia do preço na saída.

A segunda é a taxa de custódia da B3, de 0,20% ao ano sobre o valor dos títulos, cobrada semestralmente enquanto a posição existir. Numa aplicação de poucos meses ela é pequena; num papel guardado por anos, ela come parte da vantagem.

A terceira é o imposto de renda sobre o ganho, na tabela regressiva. Sair antes de seis meses paga 22,5% sobre o lucro, e a alíquota só chega aos 15% depois de dois anos de aplicação, o que muda bastante o valor líquido de uma venda oportunista.

O que a assimetria não faz é proteger de queda. Um choque de três pontos para cima na taxa real leva o preço de R$ 276,51 para R$ 163,51, perda de 40,9%, e a curva trabalhando a favor não impede o prejuízo, apenas o deixa menor do que a reta previa.

Do outro lado, o mesmo choque de três pontos para baixo leva o preço a R$ 474,65, alta de 71,6%. Quanto maior o movimento de taxa, maior a distância entre os dois lados, e ela cresce a favor de quem carrega o título.

O uso prático começa por separar duas intenções dentro da mesma carteira. Papel comprado para casar com uma data futura, aposentadoria ou meta, não precisa de convexidade nenhuma, porque o resultado dele já está contratado desde a compra.

Papel comprado com taxa real considerada alta, para vender quando ela recuar, é onde a assimetria trabalha. Nesse caso o prazo é escolha deliberada, e alongar de um vencimento em 2029 para um em 2045 é o que dá tamanho ao movimento de preço.

Quem compra papel longo para levar até o fim contratou o resultado no dia da compra. Quem compra sabendo que pode sair antes tem um segundo resultado possível, e ele é maior do lado da queda de juro do que do lado da alta, na proporção que a curva define.

Invista com princípios. Festina lente.

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